「CometOJ1529」她的想法、他的战斗

题意：Takuru 是一名情报强者，所以他想利用他强大的情报搜集能力来当中间商赚差价。Takuru 的计划是让 Hinae 帮他去市场上买一个商品，然后再以另一个价格卖掉它。Takuru 会给 Hinae 一定的钱 $p$。($p$ 是一个非负的实数)这个商品的市场价是一个在 $[l, r]$ 内均匀随机的实数。如果 $p \geqslant$ 市场价，那么 Hinae 会买下这个商品，然后私吞剩下的钱。也就是说，Takuru 以 $p$ 的代价买来了这个商品。如果 $p <$ 市场价，那么 Hinae 既不会买下商品，又不会私吞任何钱。也就是说，Takuru 的利润为 $0$。当 Hinae 买下了商品后，Takuru 会生成一个在 $[L, R]$ 内均匀随机的实数 $q$，并把商品以 $q$ 的价格卖掉。那么 Takuru 的利润就是 $q - p$。Takuru 想要获得最多的利润，所以你要帮 Takuru 确定给 Hiane 的钱 $p$，使得 Takuru 的期望利润最大。请求出最大的期望利润。

一道典型的数学期望题，但是比较简单。

由题知，售价的期望值应该是一个定值，即 $\frac{L+R}{2}$，重点在给的钱 $p$ 的值。

可以知道买到商品的概率应该为 $\frac{p-l}{r-l}$，我们先把期望利润用带有 $p$ 的代数式表示出来，即：

$$\frac{p-l}{r-l}\times(\frac{L+R}{2}-p)$$

很明显，$p$ 应该在 $[l,r]$ 之间时最优，如果 $p<l$，那么买不起商品，利润一定为 $0$，如果 $p$ 大于 $r$ ，则成本过高，不如 $p=r$ 时划算，所以 $p$ 的取值范围应该为 $[l,r]$。

可以发现上面那个代数式是关于 $p$ 的一个二次函数，我们直接分类讨论，如果对称轴在 $[l,r]$ 内，那么最大利润就是 $p$ 取对称轴时，否则要么利润为 $0$ ($p=l$)，要么利润为 $\frac{L+R}{2}-r$ ($p=r$)，两者取最大值即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int l,r,L,R;
double p,q,x,ans;
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&L,&R);
	q=(R+L)/2.0;
	x=(q+l)/2.0;
	if(x>=l&&x<=r)
		ans=(x-l)*(q-x)/(r-l);
	else
		ans=max(0.0,(double)q-r);
	printf("%.4lf",ans);
	return 0;
}