「LuoguP1220」关路灯

题意：某一村庄在一条路线上安装了 $n$ 盏路灯，每盏灯的功率有大有小(即同一段时间内消耗的电量有多有少)。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。现在已知老张走的速度为 $1m/s$，每个路灯的位置(是一个整数，即距路线起点的距离，单位：$m$)、功率($W$)，老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少(灯关掉后便不再消耗电了)。

一道区间 DP 问题，有点难想。

老张在每次关灯后，他可以选择一条路走到底，把后面的灯关完，也可以选择调头，先把这边的灯关掉，关键在走哪边能使耗电最小。

然后我们可以推出状态：$f[i][j][k]$ 代表老张已经关掉了 $i$ 到 $j$ 的所有电灯，所处位置为 $k$ ($k$ 为 $0$ 则在左端点，为 $1$ 在右端点)，此时耗电的最小值。

现在考虑其中 $f[i][j][0]$ 的情况($f[i][j][1]$ 的情况类似)，它会由两种状态转移过了，从 $i+1$ 继续关第 $i$ 盏灯，或者从第 $j$ 盏灯掉头回来关灯。

然后就得到了状态转移方程：

$$f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])\times(sum[i]+sum[n]-sum[j]),f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(sum[i]+sum[n]-sum[j]))$$

其中 $a[i+1]-a[i],a[j]-a[i]$ 是老张走这段距离的时间，$sum$ 是功率前缀和，所以 $sum[i]$ 是前 $i-1$ 盏灯的电，$sum[n]-sum[j]$ 是 $j+1\sim n$ 盏灯的电。

类似的，得到：

$$f[i][j][1] = min(f[i][j-1][0] + ( a[j] - a[i] ) * ( sum[i-1] + sum[n] - sum[j-1] ) , f[i][j-1][1] + ( a[j]-a[j-1] ) * ( sum[i-1] + sum[n] - sum[j-1] ) );$$

最后由于不知道老张会在左端点还是右端点结束，所以答案为 $min(f[1][n][0],f[1][n][1])$。

然后初始化是 $f[c][c][1]=f[c][c][0]=0$，即老张所处的位置的灯是瞬间可以关掉的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,c;
int a[55],b[55];
int sum[55],f[55][55][2];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&c);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+b[i];
	}
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[c][c][0]=f[c][c][1]=0;
	for(int l=1;l<n;l++)
		for(int i=1;i+l<=n;i++)
		{
			int j=i+l;
			f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(a[i+1]-a[i])*(sum[i]+sum[n]-sum[j]),f[i+1][j][1]+(a[j]-a[i])*(sum[i]+sum[n]-sum[j]));
			f[i][j][1]=min(f[i][j-1][1]+(a[j]-a[j-1])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]),f[i][j-1][0]+(a[j]-a[i])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]));
		}
	int ans=min(f[1][n][1],f[1][n][0]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}